An den Grenzen des Endlichen: Das Hilbertprogramm im Kontext von Formalismus und Finitismus

Erster Teil: Zur Konzeption des Hilbertprogramms. Das Hilbertprogramm und seine Ziele -- Wurzeln: Axiomatik -- Kontext: Logizismus und Intutitionismus -- Fromalismus -- Finitsmus -- Die Methode der idealen Elemente -- Instrumentalismus -- Zweiter Teil: Zur Durchführung des Hilbertprogramms. Hilberts...

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Bibliographic Details
Main Author: Tapp, Christian 1975- (Author)
Format: Electronic Book
Language:German
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Published: Berlin, Heidelberg Springer Spektrum 2013
In:Year: 2013
Series/Journal:Mathematik im Kontext
SpringerLink Bücher
Standardized Subjects / Keyword chains:B Hilbert's program
Further subjects:B Logic, Symbolic and mathematical
B Mathematical logic
B Philosophy and science
B Mathematics
B Logic
B History
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Online Access: Cover
Inhaltstext (Verlag)
Volltext (lizenzpflichtig)

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505 8 0 |a Vorwort; Inhaltsverzeichnis; 1 Einleitung; 1.1 Warum die Mathematik für die Philosophie interessant ist; 1.2 Hilbert, Mathematik und Philosophie; 1.3 Ausgangspunkte, Ziele und Programm der Arbeit; 1.4 Methodische Bemerkungen; I Zur Konzeption des Hilbertprogramms; 2 Das Hilbertprogramm und seine Ziele; 3 Wurzeln: Axiomatik; 3.1 Geometrie als Paradigma der traditionellen Axiomatik; 3.2 Hilberts neue Axiomatik und die Grundlagen der Geometrie; 3.3 Axiome als implizite Definitionen; 3.4 Axiomatik als Metawissenschaft?; 3.5 Kriteriologie für Axiome 
505 8 0 |a 3.6 Ziele und denkerische Verortung der Axiomatik3.7 Zusammenfassung; 4 Kontext: Logizismus und Intuitionismus; 4.1 Logizismus; 4.2 Intuitionismus; 4.3 Zusammenfassung; 5 Formalismus; 5.1 Formelspiel vs. methodische Einstellung; 5.2 Alternative Formalismusbegriffe; 5.3 Hilberts Formalismus; 5.4 Widerspruchsfreiheit, Wahrheit und Existenz; 5.5 Zusammenfassung; 6 Finitismus; 6.1 Erste begrifflich-inhaltliche Abgrenzungen; 6.2 Finite Zahlentheorie; 6.3 Finite Metamathematik; 6.4 Formale Abgrenzung; 6.5 Zusammenfassung; 7 Die Methode der idealen Elemente 
505 8 0 |a 7.1 Ideale Elemente in der Mathematik des 19. Jahrhunderts7.2 Analogiemißbrauch; 7.3 Hilberts ideale Elemente; 7.4 Zusammenfassung; 8 Instrumentalismus; 8.1 Der Instrumentalismus und die instrumentalistische Auffassung des Hilbertprogramms; 8.2 Kritik der instrumentalistischen Interpretation von Hilberts Programm; 8.3 Zusammenfassung; II Zur Durchführung des Hilbertprogramms; 9 Hilberts Widerspruchsfreiheitsbeweise; 9.1 Hilbert und Bernays; 9.2 Reduktion durch Angabe eines Modells; 9.3 Erste syntaktische Überlegungen: Heidelberg 1904 
505 8 0 |a 9.4 Wiederaufnahme und Weiterentwicklung: Vorlesungen 1917-19209.5 Übergänge und neue Techniken; 9.6 Hilbertsche Beweistheorie; 9.7 Zusammenfassung; 10 Hilbertschule I: Wilhelm Ackermann; 10.1 Ackermanns Ziele; 10.2 Das formale System; 10.3 Analyse des Beweises; 10.4 Deutung, Diskussion und Kritik; 10.5 Zusammenfassung; 11 Intuitionistische und Klassische Zahlentheorie: HA und PA; 11.1 Das Resultat; 11.2 Die Deutung; 12 Hilbertschule II: Gerhard Gentzen; 12.1 Logische Kalküle, Hauptsatz und Widerspruchsfreiheit der induktionsfreien Zahlentheorie 
505 8 0 |a 12.2 Der erste, nicht veröffentlichte Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Zahlentheorie12.3 Der erste veröffentlichte Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Zahlentheorie; 12.4 Beweisbarkeit der transfiniten Induktion und Ordinalzahlanalyse; 12.5 Zusammenfassung; III Zur Reflexion des Hilbertprogramms; 13 Der Problemkreis „Poincaré"; 13.1 Das Petitio-principii-Problem mit der Induktion; 13.2 Das Circulus-vitiosus-Problem mit den imprädikativen Definitionen; 13.3 Zusammenfassung; 14 Der Problemkreis „Gödel"; 14.1 Meinungsvielfalt; 14.2 Die Reichweite der Gödelschen Sätze 
505 8 0 |a 14.3 HP gegen Gödel, oder: das Formalisierbarkeitsproblem 
520 |a Erster Teil: Zur Konzeption des Hilbertprogramms. Das Hilbertprogramm und seine Ziele -- Wurzeln: Axiomatik -- Kontext: Logizismus und Intutitionismus -- Fromalismus -- Finitsmus -- Die Methode der idealen Elemente -- Instrumentalismus -- Zweiter Teil: Zur Durchführung des Hilbertprogramms. Hilberts Widerspruchsfreiheitsbeweise -- Hilbertschule I: Wilhelm Ackermann -- Intuitionistische und Klassische Zahlentheorie: HA und PA -- Hilbertschule II: Gerhard Gentzen -- Dritter Teil: Zur Reflexion des Hilbertprogramms. Der Problemkreis „Poincaré“ -- Der Problemkreis „Gödel“ -- Der Problemkreis „Kreisel“ -- Resümee. 
520 |a David Hilbert entwickelte mit seiner Beweistheorie ein Programm zur Grundlegung der Mathematik. Setzt er dazu eine formalistische Philosophie der Mathematik voraus? Die überraschende Antwort des ersten Teils dieses Buches ist ein differenziertes Nein. Hilberts Position schließt logizistische und intuitionistische Momente ein – und sicher keinen Spielformalismus. Der zweite Teil des Buches macht die Fülle der Ideen sichtbar, die Hilbert und seine Schüler im Rahmen der formallogischen Durchführung und Weiterentwicklung des Programms entwickelt haben, um die Widerspruchsfreiheit mathematischer Axiomensysteme mit mathematischen Mitteln zu zeigen. Der dritte Teil widmet sich recht anspruchsvollen philosophischen „Überhangfragen“: Ist das Programm nicht letztlich zirkulär? Ist es nicht mit den Gödelsätzen zum Scheitern verurteilt? Und wie können in einem finitistischen Rahmen transfinite Ordinalzahlen auftreten? Hilbert hat der Philosophie ein spannendes und herausforderndes Aufgabenfeld hinterlassen. 
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